Articles
DOI: 10.21070/icecrs2020435

Characteristics of Student Mental Models in Negative Round Numbers


Karakteristik Model Mental Siswa Pada Bilangan Bulat Negatif

Universitas Muhammadiyah Sidoarjo
Indonesia
Universitas Muhammadiyah Sidoarjo
Indonesia
Characteristics Mental Models Negative Integers

Abstract

The purpose of this study is to know, to describe, and to analyze students' mental model on negative integers. This research uses a descriptive qualitative approach. The data collection techniques use test, observation, interview, and documentation. The data analysis techniques use data reduction, data presentation, and conclusions. The result shows that there are three characteristics of students' metal model, the characteristics of early mental model on negative integers are only able to understand the minus sign as a count operation, students with formal mental model characteristics on negative integers understand the existence of negative numbers that have values ​​smaller than 0 but do not understand that numbers going left on the number line, it can be smaller values. Students with formal mental model characteristics on negative integers understand the direction on the number line and the value of each number correctly. It can be concluded that in understanding the scale of negative integer values ​​and negative integer places on number line, every student has different characteristics. The characteristics of the early mental model are the characteristics of the lowest mental model, the characteristics of the synthesis mental model are the characteristics of the moderate mental model and the characteristics of the formal mental model are the characteristics of the highest mental model in understanding negative integers.

PENDAHULUAN

Seperti yang diungkapkan oleh Muhsetyo, bahwa permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat disekolah dasar diantaranya penggunaan garis bilangan yang tidak sesuai dengan prinsipnya, siswa masih mengalami kesulitan dalam memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung secara konkrit dan abstrak pada bilangan bulat dan juga masih banyak siswa yang masih sulit membedakan tanda “-“ dan “+” sebagai operasi hitung dan tanda “-“ dan “+” sebagai jenis suatu bilangan. Tanda “+” pada suatu bilangan menunjukkan bahwa bilangan tersebut positif yang sudah seringkali ditemui dan dipelajari siswa dalam pembelajaran di kelas rendah. Namun siswa masih kesulitan dalam memahami bilangan dengan tanda “-“ yang merupakan suatu tanda dimana menunjukkan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan bulat negatif karena siswa masih belum menemuinya ditingkatan kelas sebelumnya.

Bilangan

Bilangan merupakan salah satu materi yang dipelajari dalam pembelajaran matematika pada tingkat sekolah dasar. Materi ini mencakup bilangan asli, bilangan cacah, bulat dan bilangan pecahan. Bekal utama dalam mempelajari aljabar dan materi matematika lainnya adalah pemahaman siswa tentang operasi bilangan bulat. Seringkali kita menggunakan bilangan bulat, baik secara langsung (dengan menuliskan lambang bilangan bulat) atau secara tidak langsung (dengan istilah atau kata-kata).Bilangan bulat sendiri terdiri dari bilangan positif, bilangan negatif dan bilangan 0.[1] Bilangan negatif berada disisi kiri angka nol pada garis bilangan dan memiliki jumlah lebih sedikit dibandingkan dengan angka nol.

Tanda

Muhsetyo menuturkan bahwa permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat disekolah dasar diantaranya penggunaan garis bilangan yang tidak sesuai dengan prinsipnya, siswa masih mengalami kesulitan dalam memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung secara konkrit dan abstrak pada bilangan bulat dan juga masih banyak siswa yang masih sulit membedakan tanda “-“ dan “+” sebagai operasi hitung dan tanda “-“ dan “+” sebagai jenis suatu bilangan. Tanda “+” pada suatu bilangan menunjukkan bahwa bilangan tersebut positif yang sudah seringkali ditemui dan dipelajari siswa dalam pembelajaran di kelas rendah. Namun siswa masih kesulitan dalam memahami bilangan dengan tanda “-“ yang merupakan suatu tanda dimana menunjukkan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan bulat negatif karena siswa masih belum menemuinya ditingkatan kelas sebelumnya. Ashvin juga berpendapat bahwa masih banyak siswa yang berusaha memahami konsep bilangan bulat negatif karena bertentangan dengan pemahaman mereka terkait bilangan bulat positif.

Dari hasil wawancara beberapa siswa yang dilakukan oleh Peled, Mukhopadhyay dan Resnick ada beberapa pendapat tentang bilangan bulat negatif yang dikemukakan siswa, siswa pertama menempatkan bilangan bulat negatif disamping bilangan bulat positif (misalnya 0, -1, 1, 2, -3, 3), siswa kedua menampatkan bilangan bulat negatif pada kedua sisi nol (misalnya -2, 0, -1, 1, 2, 3) dan beberapa siswa sudah dapat mengetahui bahwa -4 lebih besar dari -6. Dari penelitian tersebut masih ada beberapa siswa yang masih menghiraukan tanda “-“ pada bilangan dan masih memperlakukan bilangan bulat negatif sama seperti bilangan bulat positif. Dari hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa model mental siswa dalam pemahaman bilangan bulat negatif erat kaitannya pada pemahaman siswa pada konsep bilangan bulat positif.

Model Mental Siswa

Model mental sendiri menurut Norman adalah sebuah sistem yang berkembang secara alami dan dibatasi oleh hal-hal latar belakang atau pengalaman sebelumnya.[2] Dari pernyataan tersebut dapat diinterpretasikan bahwa model mental adalah kerja otak anak dalam memahami sebuah pengetahuan atau hal yang baru, namun masih mengkaitkannya dengan pengetahuan yang mereka pahami sebelumnya. Misalnya siswa dapat menafsirkan masalah kata yang melibatkan bilangan bulat negatif dari perspektif bilangan bulat positif. Carrol juga menggambarkan bahwa model mental adalah teori psikologis yang dapat memberikan sebuah jawaban.[3]

Model Mental Siswa Pada Bilangan Bulat Negatif

Paled menuturkan pemahaman bilangan bulat yang dimiliki siswa terdapat dua jenis model mental, model mental yang pertama ada empat tingkat pemahaman: pada tingkat pertama tau semua urutan bilangan bulat, dengan nomor yang lebih besar berada pada sisi kanan garis bilangan, ditingkat kedua siswa mampu menambahkan bilangan bulat positif ke bilangan bulat apapun, ditingkat ketiga siswa mampu menambah dan mengurangi dua bilangan bulat positif dan dua bilangan bulat negatif, dan yang ke empat siswa sudah bisa menambah dan mengurangi dua bilangan bulat.[4]

Model mental yang kedua mengenai kuantitas dimana bilangan bulat negatif dianggap sebagai jumlah yang tidak menguntungkan, yang dianalogikan sebagai hutang, dimana bilangan bulat negatif adalah keberadaan abstrak yang diurutkan disebelah kiri nol, dengan nilai yang lebih besar disebelah kanan. Didukung oleh pernyataan bahwa skala garis yang berada pada titik tengah garis bilangan menunjukkan angka nol dan garis berpanah memanjang yang menunjukkan bilangan bulat negatif pada sisi kiri garis bilangan dan menunjukkan bilangan bulat positif pada sisi kanan garis bilangan. [5]Teori CCSN juga menyatakan apabila angka jauh ke kanan arah garis bilangan adalah lebih besar dan angka jauh ke kiri lebih kecil.[6] Siswa harus memahami bahwa garis bilangan tidak hanya memiliki hasil yang positif tetapi juga negatif apabila garis bilangan tersebut diarahkan ke kiri. Oleh karena itu ketika siswa melakukan perpindahan garis untuk memasukkan bilangan bulat negatif pada garis bilangan, siswa juga perlu memahami urutan bilangan bulat negatif, nilai bilangan bulat negatif dan juga arah besarannya.

Kerangka kerja perubahan konseptual yang dapat menjelaskan bagaimana siswa beralih dari menggunakan garis bilangan untuk bilangan bulat positif ke garis bilangan bulat negatif. Tiga kategori yang berguna untuk menjelaskan model mental siswa dari sebuah konsep yang terintregitas dari teori CCSN yakni, model mental awal, model mental sintesis dan model mental formal.[7]

Studi Saat Ini

Tujuan penelitian dalam artikel ini adalah untuk merinci karakteristik model mental yang dimiliki siswa dalam bilangan bulat negatif. Apabila lebih khusus lagi sebagai berikut :

  1. Bagaimana karakteristik model mental awal siswa pada bilangan bulat negatif ?
  2. Bagaimana karakteristik model mental sintesis siswa pada bilangan bulat negatif ?
  3. Bagaimana karakteristik model mental formal siswa pada bilangan bulat negatif ?

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang menggambarkan sebuah simbol, angka dan lambang bilangan. Bilangan juga digunakan untuk pencacahan pengukuran. Simbol atau angka yang mewakili dari bilangan disebut angka atau lambang bilangan. Angka sendiri merupakan suatu lambang atau tanda yang melambangkan suatu bilangan. Contoh angka seringkali kita jumpai dalam pembelajaran matematika seperti angka 1 (satu), 2(dua), 3 (tiga), 4 (empat) dan seterusnya. Beberapa bilangan yang sering digunakan dalam konsep matematika seperti bilangan bulat asli, bilangan cacah, bilangan pecahan dan bilangan bulat.

Bilangan Bulat

Dalam pembelajaran matematika tak mungkin terlepas dari yang namanya bilangan,oleh karena itu materi bilangan bulat juga harus benar-benrar dikuasai. Adapun pengertian dari bilngan bulat adalah bilangan cacah beserta negatifnya. Dan bilangan bulat itu sendiri terdiri dari bilangan 0,bilangan positif dan negatif. Dari deskripsi diatas dapat disimpulkan himpunan yang mencakup bilangan cacah, bilangan asli, bilangan prima dan bilangan negatif disebut bilangan bulat atau kesimpulan lain bahwa bilangan bulat adalah himpunan yang mencakup semua bilangan, kecuali bilangan irasioal, imajiner dan bilangan pecahan.

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang berada pada sisi kiri garis bilangan dan memiliki jumlah angka lebih sedikit dari 0. Garis bilangan tidak hanya memiliki hasil yang positif tetapi juga negatif apabila garis bilangan tersebut diarahkan ke kiri. Didukung oleh pernyataan Indah Sylviabahwa skala garis yang berada pada titik tengah garis bilangan menunjukkan angka nol dan garis berpanah memanjang yang menunjukkan bilangan bulat negatif pada sisi kiri garis bilangan dan menunjukkan bilangan bulat positif pada sisi kanan garis bilangan. Contoh bilangan bulat negatif antara lain -1, -2, -3, -4, -5 dan seterusnya.

Simbol Pada Bilangan Bulat Negatif

Simbol “-“ terkandung tiga makna, yaitu : Binary (pengurangan) misalnya 9-3, Unary (negatif) misalnya -7 dan Simetris (berlawanan) misalnya -(4+3) = -(6) = -6 Jika siswa menganggap tanda negatif sebagai tanda pengurangan, maka siswa menafsirkan angka negatif sebagai masalah pengurangan tidak lengkap, misalnya: -5 sebagai 5-5. Khusus untuk masalah yang terdapat banyak tanda minus, misalnya: 4 - -6, siswa yang hanya memiliki pemahaman tanda minus biner akan mengabaikan tanda negatif karena tidak cocok dengan cara tersebut. Penggunaan model garis angka atau garis bilangan yang terbagi antara positif dan negatif, dimana siswa menghitung ke- dan dari- titik nol untuk menafsirkan bahwa angka negatif dan angka positif berbeda, atau garis nomor kontinyu yang memungkinkan siswa untuk berpindah dari angka negatif ke angka positif dengan mudah.

Model Mental

Model mental sendiri menurut Norman adalah sebuah sistem yang berkembang secara alami dan dibatasi oleh hal-hal latar belakang atau pengalaman sebelumnya. Dari pernyataan tersebut dapat diinterpretasikan bahwa model mental adalah kerja otak anak dalam memahami sebuah pengetahuan atau hal yang baru, namun masih mengkaitkannya dengan pengetahuan yang mereka pahami sebelumnya. Misalnya siswa dapat menafsirkan masalah kata yang melibatkan bilangan bulat negatif dari perspektif positif. Carrol juga menggambarkan bahwa model mental adalah teori psikologis yang dapat memberikan sebuah jawaban. Vosniadun dan Brewer mengidentifikasikan model mental pada bilangan bilangan bulat negatif menjadi tiga kategori.

Model Mental Awal

Siswa pada model mental awal untuk bilangan bulat masih pada teori kerangka kerja bilangan bulat negatif yang mereka pahami. Oleh sebab itu siswa pada model mental awal dalam menjawab pertanyaan bilangan bulat negatif masih menggunankan aturan bilangan bulat positif. Siswa yang mengandalkan teori CCSN dan mengaitkan tanda negatif hanya dengan pengurangan dan memperlakukan bilangan bulat negatif seolah-olah sama dengan bilangan bulat positif karena arti binary dari tanda minus tidak membawa arti bagi siswa dalam konteks unary. Misalnya siswa mengabaikan tanda negatif dan urutan bilangan bulat negatif seolah-olah bilangan tersebut adalah bilangan positif.

Dalam pengenalan bilangan bulat negatif, siswa bisa mengklasifikasikan bilangan yang lebih besar dari nol sebagai bilangan yang positif dan juga sebaliknya jika kurang dari nol merupakan bilangan bulat negatif. Oleh karena itu ketika siswa menafsirkan gerakan sebagai lebih negatif atau kurang negatif, siswa mengabaikan arah positif atau negatif dan gerakan tertuju ke angka yang berdasarkan bilangan bulat positif,ataupun mereka juga memperhatikan bergerak ke arah positif ataupun negatif tanpa memperhatikan apakah mereka perlu memindahkan ‘’lebih’’ atau ‘’kurang’’dalam hal arah.

Model Mental Sintesis

Model mental sintetis terbentuk ketika siswa belajar tentang konsep baru ketika mereka mulai mengatur kembali struktur konsepetual, dalam hal ini siswa berupaya untuk mengasimilasi informasi baru sambil mempertahankan struktural saat ini (vosniadou,2007). Adapun ahli lain berpendapat ketika siswa belajar bahwa bilangan bulat negatif ada, mungkin mereka berpendapat bahwa -5 lebih besar daripada -3 (Scwarz et al. 1993).

Model Mental Formal

Hasil dari terbentuknya model mental formal ialah ketika siswa berhasil mengatur ulang kerangka teori mereka dalam memahani gerakan dalam arah yang lebih negatif (ke kiri) atau menuju penurunan nilai (Mukhopadhyay,1997). Deskripsi ini diartikan bahwa siswa sudah memahami jika nilai atau bilangan bulat negatif bila semakin menjauh dari 0 maka nilainya kecil.

METODE PENELITIAN

Subyek

Penelitian ini berlangsung di sekolah SDN Gelam 1 Candi, peneliti membagikan lembar tes dengan materi bilangan bulat negatif dan garis bilangan sebanyak 10 soal dan tes wawancara tidak terstruktur kepada seluruh siswa kelas V yang berjumlah 6 siswa. Kemudian dari hasil pengerjaan tes yang diberikan peneliti diambil 3 siswa yang hasil jawaban mendekati karakteristik model mental bilangan bulat negatif siswa. Adapun kategori karakteristik model mental siswa pada bilangan bulat negaif yakni: Table 1

Model Mental Indikator Sub Indikator
Awal : Nilai dan Urutan Bilangan Belum memahami dengan pasti nilai bilangan bulat, dan menghiraukan tanda – (minus) pada bilangan bulat. Sehingga saat dihadapkan dengan soal yang menginstruksikan untuk mengurutkan bilangan, siswa pada karakteristik model mental awal masih belum bisa menjawab dengan tepat.
Arah Pada Garis Bilangan Belum mengetahui bahwa bilangan bulat negatif berada pada sisi kiri angka 0.
Operasi Belum bisa membedakan antara tanda – (minus) sebagai pengurangan dan tanda – (minus) sebagai bilangan. Sehingga siswa pada karakteristik model mental awal melakukan banyak kesalahan ketika menyelesaikan soal yang melibatkan bilangan negatif.
Sintesis : Nilai dan Urutan Bilangan Belum bisa menjawab soal dengan benar yang menyangkut 2 bilangan bulat negatif. Siswa pada karakteristik model mental sintesis juga belum bisa mengurutkan bilangan bulat negatif dengan benar dan belum memahami besaran nilai yang dimiliki oleh bilangan bulat negatif.
Arah Pada Garis Bilangan Siswa pada karakteristik model mental sisntesis masih beranggapan bahwa bilangan bulat negatif semakin menjauh dari angka 0 atau semakin ke kiri memiliki niali yang semakin besar.
Operasi Melakukan kesalahan dalam menjawab beberapa pertanyaan yang melibatkan 2 bilangan yang berbeda dan juga yang mempertemukan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.
Formal : Nilai dan Urutan Bilangan Mampu menuliskan kembali bilangan yang hilang pada garis bilangan dan mengurutkan bilangan tersebut dengan benar.
Arah Pada Garis Bilangan Siswa pada karakteristik model mental formal memahami tempat bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif pada garis bilangan dengan benar.
Operasi Mampu membedakan tanda plus dan minus baik sebagai tanda pengurangan dan penjumlahan atau tanda plus dan minus sebagai tanda dari suatu bilangan bulat, siswa pada karakteristik model mental formal juga berhasil menjawab dengan benar penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif..
Table 1.Karakteristik Model Mental Siswa Pada Bilangan Bulat Negatif

Analisa Data

Pendekatan Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif jenis deskriptif. Menurut Sugiyono penelitian kualitatif adalah sebuah metode penelitian yang digunakan untuk meneliti pada kondisi objek yang alamiah, dimana peneliti adalah sebagai instrumen.[8] Aturan penelitian yang dihasilkan dari data deskriptif dalam bentuk lisan dan bahasa pada suatu kondisi yang secara alamiah dan penelitian ini ditujukan untuk mengetahui kejadian tentang apa yang terjadi oleh subyek penelitian. Pendekatan ini digunakan untuk mendeskripsikan karakteristik model mental yang dimiliki siswa terkait bilangan bulat negatif. Pendeskripsian karakteristik model mental siswa dilakukan dengan menganalisis hasil tes siswa, wawancara kepada siswa, dan dokumentasi selama penelitian.

Lokasi Penelitian

Penelitian ini dilakukan di SDN Gelam 1 Desa Gelam Kecamatan Candi Kabupaten Sidoarjo pada tahun ajaran 2019/2020. Siswa kelas V sebagai subjek penelitian. Jumlah siswa kelas V sebanyak 6 siswa yang terdiri dari laki – laki sebanyak 5 siswa dan perempuan sebanyak 1 siswa.

Subyek Penelitian

Pemilihan subjek dalam penelitian ini, peneliti membagikan lembar tes dengan materi bilangan bulat negatif dan garis bilangan sebanyak 10 soal dan tes wawancara tidak terstruktur kepada seluruh siswa kelas V yang berjumlah 6 siswa. Kemudian dari hasil pengerjaan tes yang diberikan peneliti diambil 3 siswa yang hasil jawaban mendekati karakteristik model mental bilangan bulat negatif siswa.

Reduksi Data

Reduksi data dalam penelitian ini merupakan bentuk analisis yang mengacu pada proses menggolongkan informasi, membuang yang tidak perlu, dan mengorganisasikan data yang diperoleh dari lapangan. Pada tahap ini peneliti memusatkan perhatian dengan : (1) Mentranskip hasil penilaian tes subyek pada kelas V SDN Gelam 1 candi (2) setelah diperoleh data, kemudian peneliti memilih 1 orang siswa yang akan dijadikan subjek penelitian, sesuai dengan kriteria, yaitu siswa yang memiliki pemahaman bilangan bulat negatif sesuai dengan ketiga jenis model mental (3) mengelompokkan jenis data sesuai dengan jenisnya, dimana dalam hal ini peneliti mengelompokkan setiap kemampuan pemahaman siswa untuk dikategorikan dengan model mental yang sesuai.

Keabsahan Data

Dalam penelitian ini pengecekan keabsahan data menggunakan trinagulasi. Triangulasi digunakan untuk menguji kreadibilitas data dilakukan dengan cara mengecek data kepada sumber yang sama dengan teknik yang berbeda. Peneliti menggunakan Triangulasi sumber dimana peneliti melakukan pengecekan data yang telah diperoleh melalui beberapa sumber yang berbeda-beda.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Diskusi

Tahapan penelitian dimulai dari memberikan tes pemahaman bilanga bulat negatif siswa dengan jumlah soal sebanyak 10 soal uraian. Soal tes pemahaman bilangan bulat negatif diberikan kepada 6 siswa. Dari hasil tes pemahaman bilangan bulat negatif tersebut didapatkan 3 subjek yang akan diidentifikasi karakteristik model mental siswa pada pemahaman bilangan bulat negatif.

Dalam tes pemahaman bilangan bulat negatif ada tiga kriteria soal yang mencakup dari sepuluh keseluruhan soal. ketiga kriteria soal tersebut antara lain nilai dan urutan bilangan, arah pada garis bilangan dan operasi. Kriteria nilai dan urutan bilangan mencakup soal nomor 1 sampai dengan soal nomor 5 dengan tipe yang berbeda-beda, pada kriteria nilai dan urutan bilangan menggali pemahaman subjek tentang besaran nilai yang dimiliki setiap bilangan dan urutan bilangan tersebut. Kriteria arah pada garis bilangan mencakup soal nomor 6 dan nomor 7 dengan tipe soal yang berbeda, pada kriteria soal arah pada garis bilangan menggali pemahaman subjek terkait letak setiap bilangan pada garis bilangan. Dan kriteria operasi mencakup soal nomor 8 sampai dengan yang terakhir soal nomor 10 dengan tipe soal yang berbeda-beda, pada kriteria operasi menggali pemahaman subjek tentang fungsi dari tanda minus dan mencari tahu jawaban siswa ketika soal operasi hitung melibatkan 2 bilangan yang berbeda.

Pengelompokan yang dilakukan peneliti dengan mengkategorikan hasil tes pemahaman bilangan bulat negatif dengan 3 kategori yaitu siswa degan kateristik model mental awal, model mental formal dan model mental sintesis. Untuk subjek diambil 1 siswa dengan kriteria model mental awal, 1 siswa dengan kriteria model mental sintesis dan 1 siswa dengan kriteria model mental formal. Table 2

Subjek Keterangan
I Siswa dengan karakteristik model mental awal dalam pemahaman bilangan bulat negatif
II Siswa dengan karakteristik model mental sintesis dalam pemahaman bilangan bulat negatif
III Siswa dengan karakteristik model mental formal dalam pemahaman bilangan bulat negatif
Table 2.Pengkodean Subjek

Siswa dengan karakteristik model mental awal dalam pemahaman bilangan bulat negatif dapat sebagai subjek I dengan inisial DC. Siswa dengan karakteristik model mental sintesis dalam pemahaman bilangan bulat negatif dapat sebagai subjek II dengan inisial DS. Siswa dengan karakteristik model mental formal dalam pemahaman bilangan bulat negatif dapat sebagai subjek III dengan inisial CF.

Karakteristik M odel Mental Awal Siswa Pada Bilangan N egatif

Berikut merupakan data hasil tes karakteristik model mental awal siswa pada pemahaman bilangan bulat negatif.

Kriteria nilai dan urutan bilangan

Mengisigarisbilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 1 “Isilah bilangan yang hilang pada garis bilangan!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I. Figure 1

Figure 1.Tes Tulis Mengisi Garis Bilangan Subjek I

Berdasarkan gambar 1 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I tidak bisa mengisi bilangan yang kosong pada garis bilangan, dan belum mengetahui letak antara bilangan positif dan bilangan negatif pada garis bilangan sehingga Subjek I menempatkan bilangan positif disebelah kiri angka 0. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak mengetahui letak bilangan pada garis bilangan.Table 3

Peneliti : “ Apakah kamu mengetahui tempat bilangan pada garis bilangan ?”
Subjek I : “ Tidak tahu ”
Table 3.Tabel Hasil Wawancara

Mengurutkanbilanganbulat. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 2 “Urutkan mulai dari bilangan terkecil dengan membuat garis pada kartu bilangan ke nomor yang sudah tertera!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 2

Figure 2.Tes Tulis Mengurutkan Bilangan Bulat Subjek I

Berdasarkan gambar 2 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I menghiraukan tanda negatif pada bilangan dan cenderung mencocokkan bilangan dengan soal urutan pada soal, sedangkan bilangan yang tidak memiliki kesamaan dengan urutan soal Subjek I asal membuat garis. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak bisa mengurutkan bilangan dari terkecil dimulai dari bilangan negatif.Table 4

Peneliti : “ Apakah kamu bisa mengurutkan bilangan mulai dari yang terkecil dimulai dari bilangan negatif ? Coba lakukan !”
Subjek I : “ Tidak bisa ”
Table 4.Hasil wawancara subjek I

Terbesar dan terkecil. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 3 “Setelah memilih kartu bilangan pada soal nomor 2, manakah kartu bilangan yang terbesar dan terkecil diantara soal A dan B di atas?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I. Figure 3

Figure 3.Tes Tulis Terbesar dan Terkecil Subjek I

Berdasarkan gambar 3 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I belum memahami nilai sebuah bilangan, terlihat dari jawaban yang diberikan Subjek I, Subjek I hanya asal dalam menjawab pertanyaan. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak dapat menentukan bilanga terkecil dengan benar.

Peneliti : “ Ketika saya mempunya bilangan -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 manakah bilangan yang terbesar dan terkecil ?”
Subjek I : “3 dan 0”
Table 5.Hasil wawancara subjek I

Bilanganbulatterbesar. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 4 “Lingkarilah bilangan bulat yang lebih besar!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.

Figure 4.Tes Tulis Bilangan Bulat Terbesar Subjek I

Berdasarkan gambar 4 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I menghiraukan tanda negatif pada bilangan. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I menghiraukan tanda negatif pada bilangan sehingga beranggapan bahwa -9 memiliki nilai yang lebih besar.

Peneliti : “Antara -9 dengan -8 manakah diantar dua bilangan tersebut yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek I : “-9”
Table 6.Hasil wawancara subjek I

Bilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 5 “Lingkarilah semua bilangan yang kamu ketahui, tuliskan bilangan tersebut berupa tulisan latin!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 5

Figure 5.Tes Tulis Bilangan Subjek I

Berdasarkan gambar 4.5 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I belum bisa membedekan antara bilangan positif dengan bilangan negatif, Subjek I tidak menjawab pertanyaan sesuai yang diinstruksikan oleh soal dengan menulis ulang kembali bilangan yang tertera pada soal. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak dapat membedakan antara bilangan negatif dengan bilangan positif.

Peneliti : “ Apa yang membedakan antara bilangan negatif dan bilangan positif ?”
Subjek I : “ Tidak tahu ”
Table 7.Hasil wawancara subjek I

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek I pada kriteria soal nilai dan urutan bilangan Subjek I Subjek I belum memahami dengan pasti nilai bilangan, dan menghiraukan tanda – (minus) pada bilangan. Sehingga saat Subjek I dihadapkan dengan soal yang menyuruh Subjek I untuk mengurutkan bilangan, Subjek I masih belum bisa menjawab dengan tepat.

Kriteria arah pada garis bilangan

Tinggi dan rendah. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 6 “Diketahui kucing berdiri dibilangan 0, apabila kucing bergerak 5 langkah ke kiri pada tangga lalu sikucing bergerak lagi 2 langkah ke kanan, pada bilangan berapakah kucing terbut berdiri saat ini?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 6

Figure 6.Tes Tulis Tinggi dan Rendah Subjek I

Berdasarkan gambar 6 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I tidak memahami adanya bilangan negatif, sehingga bilangan yang lebih kecil dari 0 Subjek I menganggap bilangan kembali ke angka 10. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak dapat memberikan jawaban yang tepat.

Peneliti : “ Apabila bilangan semakin kekiri pada garis bilangan maka bilangan tersebut memiliki nilai yang lebih ?”
Subjek I : “ Besar ”
Table 8.Hasil wawancara subjek I

Positif dan negatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 7 “Letakkan jari kamu pada bilangan 1, gerakkan jari kamu kea rah negatif sebanyak 4 langkah, kemudian gerakkan jari kamu ke arah positif sebanyak 7 langkah dimanakah jari kamu berhenti ? gambarkan kotak kecil beserta bilangan ditempat jari kamu berhenti pada garis bilangan tersebut!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 7

Figure 7.Tes Tulis Positif dan Negatif Subjek I

Berdasarkan gambar 7 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I menulis ulang kembali jawaban pada soal 1. Subjek I mengisi semua bilangan pada garis bilangan dengan menempatkan bilangan positif di sebelah kiri angka 0 dan bilangan negatif di sebelah kanan angka 0. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak mengetahui letak bilangan positif dan bilangan negatif pada garis bilangan.

Peneliti : “Pada garis bilangan dimanakah tempat bilangan positif dan bilangan negatif ?”
Subjek I : “ Tidak tahu ”
Table 9.Hasil wawancara subjek I

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek I pada kriteria soal arah pada garis bilangan Subjek I belum bisa menyelesaikan soal yang diberikan karena Subjek I belum mengetahui bahwa bilangan negatif berada pada sisi kiri angka 0.

Kriteria operasi

TandaHasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 8 “Lingkarilah tanda plus dan minus, sebagai tanda pengurangan atau penjumlahan. Berikan alasan kenapa kamu yakin dengan apa yang kamu lingkari ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 8

Figure 8.Tes Tulis Tanda Subjek I

Berdasarkan gambar 8 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I belum bisa membedakan tanda plus dan minus sebagai tanda penjumlahan dan pengurangan atau sebagai tanda pada suatu bilangan. Subjek I menulis ulang bilangan yang ada pada soal. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I mengetahui tanda plus dan minus hanya sebagai tanda operasi hitung.

Peneliti : “ Tanda plus dan minus memiliki 2 fungsi , apakah kamu mengetahui kedua fungsi tersebut ? coba sebutkan !”
Subjek I : “ Pengurangan dan Penjumlahan ”
Table 10.Hasil wawancara subjek I

Komutatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 9“Lihatlah permasalahan berikut ini. Apakah jawaban pada soal tersebut sama ? dan bagaimana kamu mengetahuinya ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 9

Figure 9.Tes Tulis Komutatif Subjek I

Berdasarkan gambar 9 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I tidak berhasil memberikan jawaban yang benar. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak yakin atau tidak bisa menyelesaikan soal pengurangan ketika bilangan yang memiliki nilai lebih kecil dikurangi bilangan yang memiliki nilai lebih besar.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan soal pengurangan ketika bilangan yang memiliki nilai lebih kecil dikurangi bilangan yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek I : “ Tidak yakin ”
Table 11.Hasil wawancara subjek I

Penambahan dan pengurangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek I pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 10 “Selesaikan soal penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan positif dan negatif!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek I.Figure 10

Figure 10.Tes Tulis Penambahan dan Pengurangan Subjek I

Berdasarkan gambar 10 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek I tidak berhasil menjawab dengan benar 1 pun soal yang diberikan. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek I tidak yakin dapat menyelesaikan soal yang melibatkan bilangan positif dan bilangan negatif.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan poistif dengan bilangan negatif tanpa melakukan kesalahan ?”
Subjek I : “ Tidak yakin ”
Table 12.Hasil wawancara subjek I

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek I pada kriteria soal operasi Subjek I belum bisa membedakan antara tanda – (minus) sebagai pengurangan dan tanda – (minus) sebagai bilangan. Sehingga Subjek I melakukan banyak kesalahan ketika menyelesaikan soal yang melibatkan bilangan negatif.

Karakteristik Model Mental Sintesis Siswa Pada Bilangan Negatif

Berikut merupakan data hasil tes karakteristik model mental sintesis siswa pada pemahaman bilangan bulat negatif.

Kriteria nilai dan urutan bilangan

Mengisigarisbilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 1 “Isilah bilangan yang hilang pada garis bilangan!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 11

Figure 11.Tes Tulis Mengisi Garis Bilangan Subjek II

Berdasarkan gambar 11 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II tidak bisa mengurutkan bilangan pada garis bilangan, karena masih melewatkan bilangan -1 dan 0. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II memberikan pernyataan bahwa Subjek II mengetahui tempat bilangan pada garis bilangan.

Peneliti : “ Apakah kamu mengetahui tempat bilangan pada garis bilangan ?”
Subjek II : “ Tidak saya tahu ”
Table 13.Hasil wawancara subjek II

Mengurutkanbilanganbulat. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 2 “Urutkan mulai dari bilangan terkecil dengan membuat garis pada kartu bilangan ke nomor yang sudah tertera!”.. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 12

Figure 12.Tes Tulis Mengurutkan Bilangan Bulat Subjek II

Berdasarkan gambar 12 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II dalam menjawab pertanyaan, masih tidak menghiraukan tanda negatif pada bilangan dan menjawab secara acak. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II memahami adanya bilangan negatif namun masih melakukan kesalahan dalam melakukan pengurutan bilangan.

Peneliti : “ Apakah kamu bisa mengurutkan bilangan mulai dari yang terkecil dimulai dari bilangan negatif ? Coba lakukan !”
Subjek II : “ Bisa , -1, -2, -3”
Table 14.Hasil wawancara subjek II

Terbesar dan terkecil. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 3 “Setelah memilih kartu bilangan pada soal nomor 2, manakah kartu bilangan yang terbesar dan terkecil diantara soal A dan B di atas?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 13

Figure 13.Tes Tulis Terbesar dan Terkecil Subjek II

Berdasarkan gambar 13 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II berhasil menjawab bilangan terbesar, namun masih melakukan keselahan dalam menentukan jawaban bilangan terkecil. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II memberikan jawaban yang tepat ketika menentukan manakah bilangan yang terbesar akan tetapi ketika menentukan bilangan terkecil Subjek II melakukan kesalahan.

Peneliti : “ Ketika saya mempunya bilangan -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 manakah bilangan yang terbesar dan terkecil ?”
Subjek II : “ Terbesar 3 dan terkecil 0”
Table 15.Hasil wawancara subjek II

Bilanganbulatterbesar. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 4 “Lingkarilah bilangan bulat yang lebih besar!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 14

Figure 14.Tes Tulis Bilangan Bulat Terbesar Subjek II

Berdasarkan gambar 14 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II menjawab dengan benar ketika bilangan negatif bertemu dengan bilangan positif, namun masih melakukan kesalahan dalam menentukan manakah bilangan yang terbesar ketika mempertemukan 2 bilangan negatif. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II belum tepat dalam menentukan manakah bilangan yang lebih besar antara 2 bilangan negatif.

Peneliti : “Antara -9 dengan -8 manakah diantar dua bilangan tersebut yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek II : “-9”
Table 16.Hasil wawancara subjek II

Bilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 5 “Lingkarilah semua bilangan yang kamu ketahui, tuliskan bilangan tersebut berupa tulisan latin!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 15

Figure 15.Tes Tulis Bilangan Subjek II

Berdasarkan gambar 15 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II hanya mampu menuliskan bilangan sebanyak 2 bilangan dan melewatkan 2 bilangan yang lain. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II bisa mengidentifkasi perbedaan yang dimiliki antara bilangan bulat positif dengan bilangan negatif.

Peneliti : “ Apa yang membedakan antara bilangan negatif dan bilangan positif ?”
Subjek II : “ Tidak tahu ”
Table 17.Hasil wawancara subjek II

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek II pada kriteria soal nilai dan urutan bilangan Subjek II masih belum bisa menjawab soal dengan benar yang melibatkan 2 bilangan negatif, Subjek II juga belum bisa mengurutkan bilangan negatif dan besaran nilai yang dimiliki bilangan negatif, bahwa bilangan negatif semakin ke kiri dari angka 0 memiliki nilai yang lebih kecil.

Kriteria arah pada garis bilangan

Tinggi dan rendah. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 6 “Diketahui kucing berdiri dibilangan 0, apabila kucing bergerak 5 langkah ke kiri pada tangga lalu sikucing bergerak lagi 2 langkah ke kanan, pada bilangan berapakah kucing terbut berdiri saat ini?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 16

Figure 16.Tes Tulis Tinggi dan Rendah Subjek II

Berdasarkan gambar 16 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II berhasil menjawab dimanakah posisi kucing berdiri setelah melangkah sebanyak 5 langkah ke kiri angka 0 dan melangkah lagi 2 langkah ke arah kanan. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II melakuakan kesalahan, Subjek II menganggap apabila bilangan semakin ke kiri pada garis bilangan memiliki nilai yang semakin besar.

Peneliti : “ Apabila bilangan semakin kekiri pada garis bilangan maka bilangan tersebut memiliki nilai yang lebih ?”
Subjek II : “ Besar ”
Table 18.Hasil wawancara subjek II

Positif dan negatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 7 “Letakkan jari kamu pada bilangan 1, gerakkan jari kamu kea rah negatif sebanyak 4 langkah, kemudian gerakkan jari kamu ke arah positif sebanyak 7 langkah dimanakah jari kamu berhenti ? gambarkan kotak kecil beserta bilangan ditempat jari kamu berhenti pada garis bilangan tersebut!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 17

Figure 17.Tes Tulis Positif dan Negatif Subjek II

Berdasarkan gambar 17 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II menggambarkan kotak dengan bilangan positif pada garis bilangan namun Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II mengetahui dimana letak bilangan negatif dan bilangan poitif pada garis bilangan.

Peneliti : “Pada garis bilangan dimanakah tempat bilangan positif dan bilangan negatif ?”
Subjek II : “ Positif di kanan dan negatif di kiri ”
Table 19.Hasil wawancara subjek II

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek I pada kriteria soal arah pada garis bilangan. Subjek II sudah memahami bahwa bilangan negatif berada pada sisi kiri angka 0 namun masih melakukan kesalahan saat bertemu soal yang mengecoh / menginstruksikan Subjek II melibatkan bilangan negatif

Kriteria operasi

Tanda. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 8 “Lingkarilah tanda plus dan minus, sebagai tanda pengurangan atau penjumlahan. Berikan alasan kenapa kamu yakin dengan apa yang kamu lingkari ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II. Figure 18

Figure 18.Tes Tulis Tanda Subjek II

Berdasarkan gambar 18 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II salah dalam melingkari, Subjek II justru melingkari bilangan bukan tanda plus dan minus sebagai tanda penjumlahan dan pengurangan sesuai yang diintruksikan oleh soal. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II mampu memberikan penjelasan tentang fungsi tanda minus namun kurang lengkap dalam memberikan pernyataan sesuai yang diinstruksikan oleh soal.

Peneliti : “ Tanda plus dan minus memiliki 2 fungsi , apakah kamu mengetahui kedua fungsi tersebut ? coba sebutkan !”
Subjek II : “ Sebagai kurang-kurangan dan bilangan negatif positif ”
Table 20.Hasil wawancara subjek II

Komutatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 9 “Lihatlah permasalahan berikut ini. Apakah jawaban pada soal tersebut sama ? dan bagaimana kamu mengetahuinya ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II.Figure 19

Figure 19.Tes Tulis Komutatif Subjek II

Berdasarkan gambar 19 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II hanya bisa menjawab pertanyaan tanpa bisa memberikan alasan yang tepat. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II bisa menjawab pertanyaan operasi hitung dengan bilangan yang memiliki nilai kecil dikurangi bilangan yang memiliki nilai lebih besar.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan soal pengurangan ketika bilangan yang memiliki nilai lebih kecil dikurangi bilangan yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek II : “ Bisa ”
Table 21.Hasil wawancara subjek II

Penambahan dan penguragan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek II pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 10 “Selesaikan soal penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan positif dan negatif!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek II. Figure 20

Figure 20.Tes Tulis Penambahan dan Pengurangan Subjek II

Berdasarkan gambar 20 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek II masih melakukan kesalahan dalam menjawab pertanyaan yang mempertemukan 2 bilangan yang berbeda antara bilangan bukat positif dan bilangan bulat negatif, dan Subjek II juga tidak tepat dalam menjawab pertanyaan yang mempertemukan 2 bilangan negatif. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek II tidak yakin akan bisa menjawab dengan benar semua pertanyaan yang melibatkan bilangan positif dan negatif.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan poistif dengan bilangan negatif tanpa melakukan kesalahan ?”
Subjek II : “Saya tidak yakin bisa menjawab dengan benar semua ”
Table 22.Hasil wawancara subjek II

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek II pada kriteria soal operasi. Subjek II memahami bahwa fungsi tanda minus bukan hanya sebagai operasi hitung melainkan juga sebagai tanda pada bilangan negatif. Namun Subjek II banyak melakukan kesalahan dalam menjawab beberapa pertanyaan yang melibatkan 2 bilangan yang berbeda dan juga yang mempertemukan bilangan negatif dengan bilangan negatif.

Karakteristik M odel Mental Formal Siswa Pada Bilangan N egatif

Berikut merupakan data hasil tes karakteristik model mental formal siswa pada pemahaman bilangan bulat negatif.

Kriteria nilai dan urutan bilangan

Mengisigarisbilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 1 “Isilah bilangan yang hilang pada garis bilangan!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 21

Figure 21.Tes Tulis Teknik Mengisi Garis Bilangan Subjek III

Berdasarkan gambar 21 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III bisa mengisi keseluruhan bilangan yang hilang pada garis bilangan dengan benar, baik pengurutan angka dan penempatan bilangan negatif dan positif.Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III mengetahui tempat bilangan pada garis bilangan.

Peneliti : “ Apakah kamu mengetahui tempat bilangan pada garis bilangan ?”
Subjek III : “ Iya , saya tahu ”
Table 23.Hasil wawancara subjek III

Mengurutkan bilanganbulat. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 2 “Urutkan mulai dari bilangan terkecil dengan membuat garis pada kartu bilangan ke nomor yang sudah tertera!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III.Figure 22

Figure 22.Tes Tulis Mengurutkan Bilangan Bulat Subjek III

Gambar 22

Berdasarkan gambar 22 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III bisa mengurutkan kartu bilangan dengan benar baik positif maupun negatif. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III bisa mengurutkan dengan benar bilangan mulai dari bilangan terkecil.

Peneliti : “ Apakah kamu bisa mengurutkan bilangan mulai dari yang terkecil dimulai dari bilangan negatif ? Coba lakukan !”
Subjek III : “-2, -1, 0, 1, 2, 3”
Table 24.Hasil wawancara subjek III

Terbesar dan terkecil. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 3 “Setelah memilih kartu bilangan pada soal nomor 2, manakah kartu bilangan yang terbesar dan terkecil diantara soal A dan B di atas?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 23

Figure 23.Tes Tulis Terbesar dan Terkecil Subjek III

Berdasarkan gambar 23 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III sudah memahami nilai dari suatu bilangan dan dapat menentukan dengan benar manakah bilangan yang terkecil dan terbesar. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III sudah bisa menentukan dengan benar manakah bilangan yang terbesar dan bilangan terkecil.

Peneliti : “ Ketika saya mempunya bilangan -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 manakah bilangan yang terbesar dan terkecil ?”
Subjek III : “ Bilangan yang besar 3 dan yang kecil -3”
Table 25.Hasil wawancara subjek III

Bilanganbulatterbesar. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 4 “Lingkarilah bilangan bulat yang lebih besar!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 24

Figure 24.Tes Tulis Bilangan Bulat Terbesar Subjek III

Berdasarkan gambar 24 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III sudah bisa menentukan manakah bilangan yang lebih besar dengan benar. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III memahami nilai yang dimiliki oleh setiap bilangan negatif.lebih besar.

Peneliti : “Antara -9 dengan -8 manakah diantar dua bilangan tersebut yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek III : “-8”
Table 26.Hasil wawancara subjek III

Bilangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria nilai dan urutan bilangan dengan butir soal nomor 5 “Lingkarilah semua bilangan yang kamu ketahui, tuliskan bilangan tersebut berupa tulisan latin!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 25

Figure 25.Tes Tulis Bilangan Subjek III

Berdasarkan gambar 25 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III tidak melakukan kesalahan ketika melingkari bilangan, dan benar ketika menulis bilangan kembali dalam bentuk tulisan latin. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III bisa mengidentifikasi perbedaan yang dimiliki antara bilangan negatif dengan negatif, dilihat dari tanda yang ada pada setiap bilangan.

Peneliti : “ Apa yang membedakan antara bilangan negatif dan bilangan positif ?”
Subjek III : “ Kalau bilangan positif tidak ada tandanya sama sekali , sedangkan bilangan negatif ada tanda minus didepan bilangannya nya ”
Table 27.Hasil wawancara subjek III

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek III pada kriteria soal nilai dan urutan bilangan Subjek III mampu menuliskan kembali bilangan yang hilang pada garis bilangan dan mengurutkan bilangan tersebut dengan benar, dengan kata lain Subjek III sudah memahami nilai yang dimiliki setiap bilangan.

Kriteria arah pada garis bilangan

Tinggi dan rendah. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 6 “Diketahui kucing berdiri dibilangan 0, apabila kucing bergerak 5 langkah ke kiri pada tangga lalu sikucing bergerak lagi 2 langkah ke kanan, pada bilangan berapakah kucing terbut berdiri saat ini?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek IIIFigure 26

Figure 26.Tes Tulis Tinggi dan Rendah Subjek III

Berdasarkan gambar 26 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III berhasil menjawab dimanakah letak kucing berdiri. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III memahami besaran nilai yang dimiliki bilangan, apabila bilangan semakin ke kiri pada garis bilangan maka bilangan tersebut memiliki nilai yang lebih kecil.

Peneliti : “ Apabila bilangan semakin kekiri pada garis bilangan maka bilangan tersebut memiliki nilai yang lebih ?”
Subjek III : “Kecil”
Table 28.Hasil wawancara subjek III

Positif dan negatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria arah pada garis bilangan dengan butir soal nomor 7 “Letakkan jari kamu pada bilangan 1, gerakkan jari kamu kea rah negatif sebanyak 4 langkah, kemudian gerakkan jari kamu ke arah positif sebanyak 7 langkah dimanakah jari kamu berhenti ? gambarkan kotak kecil beserta bilangan ditempat jari kamu berhenti pada garis bilangan tersebut!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 27

Figure 27.Tes Tulis Positif dan Negatif Subjek III

Berdasarkan gambar 27 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III. Sudah bisa menjawab dimana harus menggambar kotak pada garis bilangan dan menuliskan bilangan 4 didalam kotak. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III memahami tempat bilangan positif dan negatif pada garis bilangan.

Peneliti : “Pada garis bilangan dimanakah tempat bilangan positif dan bilangan negatif ?”
Subjek III : “ Kalau positif di sisi kanan angka 0 sedangkan kalau negatif disisi kiri angka 0”
Table 29.Hasil wawancara subjek III

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek III pada kriteria soal arah pada garis bilangan. Subjek III berhasil menentukan tempat suatu bilangan ketika dihadapkan dengan soal yang mengecoh dan mengharuskan Subjek III memahami betul letak bilangan.

Kriteria operasi

Tanda. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 8“Lingkarilah tanda plus dan minus, sebagai tanda pengurangan atau penjumlahan. Berikan alasan kenapa kamu yakin dengan apa yang kamu lingkari ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 28

Figure 28.Tes Tulis Tanda Subjek III

Berdasarkan gambar 28 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III bisa melingkari tanda plus dan minus sebagai tanda pengurangan dan penjumlahan, dan bisa memberikan alasan dengan baik. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III memahami fungsi tanda minus baik sebagai operasi hitung maupun sebagai tanda pada suatu bilangan.

Peneliti : “ Tanda plus dan minus memiliki 2 fungsi , apakah kamu mengetahui kedua fungsi tersebut ? coba sebutkan !”
Subjek III : “plus untuk penambahan , sedangakan kalau minus untuk pengurangan dan tanda bila negatif ”
Table 30.Hasil wawancara subjek III

Komutatif. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 9 “Lihatlah permasalahan berikut ini. Apakah jawaban pada soal tersebut sama ? dan bagaimana kamu mengetahuinya ?”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 29

Figure 29.Tes Tulis Komutatif Subjek III

Berdasarkan gambar 29 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III bisa Menjawab dan memberikan jawaban dengan baik. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III yakin dapat menyelesaiakan soal pengurangan ketika bilangan yang memiliki nilai lebih kecil dikurangi bilangan yang memiliki bilai yang lebih besar.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan soal pengurangan ketika bilangan yang memiliki nilai lebih kecil dikurangi bilangan yang memiliki nilai lebih besar ?”
Subjek III : “ Bisa ”
Table 31.Hasil wawancara subjek III

Penambahan dan pengurangan. Hasil tes yang dilakukan pada Subjek III pada kriteria operasi dengan butir soal nomor 10 “Selesaikan soal penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan positif dan negatif!”. Berikut ini gambar hasil tes Subjek III. Figure 30

Figure 30.Tes Tulis Penambahan dan Pengurangan Subjek III

Berdasarkan gambar 30 hasil tes menunjukkan bahwa Subjek III sudah bisa menjawab soal tersebut dengan benar semuanya. Berdasarkan wawancara yang dilakukan, Subjek III memiliki keyakinan mampu mengerjakan soal yang melibatkan bilangan negatif dan positif namun Subjek III tidak yakin bahwa jawaban yang diberikan benar secara keseluruhan.

Peneliti : “ Apakah kamu yakin bisa menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan poistif dengan bilangan negatif tanpa melakukan kesalahan ?”
Subjek III : “ Bisa ”
Table 32.Hasil wawancara subjek III

Kesimpulan jawaban tes pemahaman bilangan bulat negatif Subjek III pada kriteria soal operasi. Subjek III mampu membedakan tanda plus dan minus baik sebagai tanda pengurangan dan penjumlahan atau tanda plus dan minus sebagai tanda dari suatu bilangan, Subjek III juga berhasil menjawab dengan benar penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan bulat positif dan negatif

Hasil

Berdasarkan beberapa rangkaian tes yang telah dilaksanakan diperoleh informasi data bahwa semua subjek antara model mental awal, model mental sintesis dan model mental formal memiliki karakteristik yang berbeda-beda, setiap kriteria untuk masing masing tipe soal setiap karakteristik memiliki perbedaan. Perbedaan karakteristik model mental ini akan dibahas lebih lanjut sebagi berikut.

Karakteristik M odel Mental Awal Siswa Pada Bilangan N egatif

Siswa belum memahami besaran nilai yang dimiliki pada bilangan, sehingga siswa pada karakteristik model mental cenderung memperlakukan bilangan negatif sama seperti bilangan positif, sama seperti yang ditemukan oleh Peled dalam penelitiannya bahwa siswa dengan karakteristik model mental awal menempatkan bilangan negatif disamping bilangan positif. Mirip dengan temuan Whitecare bahwa siswa pada karakteristik model mental awal menginterprestasikan masalah bilangan bulat negatif dari perspektif positif.[9] Karna pada karakteristik model mental awal siswa menghiraukan tanda minus yang terdapat pada bilangan tersebut. Dengan pemahaman siswa yang seperti itu siswa pada karakteristik model mental awal sangat kesulitan apabila menjawab soal yang menginstruksikan harus arah bilangan pada garis bilangan dan operasi hitung yang mempertemukan 2 bilangan berbeda, karane pada karakteristik model mental awal siswa memahami tanda minus hanya sebagai operasi hitung bukan sebagai tanda dari bilangan negatif

Karakteristik Model Mental Sintesis Siswa Pada Bilangan N egatif

Siswa sudah menyadari adanya bilangan negatif pada garis bilangan. pada karakteristik model mental sintesis siswa juga memahami bahwasanya bilangan negatif memiliki nilai yang lebih kecil dari angka 0, namun masih menganggap bahwa semakin ke kiri bilangan pada garis bilangan , bilangan tersebut memiliki nilai yang lebih besar. Mirip dengan temuan Schwartz meskipun siswa memahami letak bilangan negatif dengan benar, siswa menganggap bilangan negatif yang semakin jauh dengan angka 0 memiliki nilai yang lebih tinggi. [10]Dengan konsep yang dimiliki siswa tersebut, kesulitan akan dialami siswa ketika siswa bertemu soal perbandingan bilangan dan operasi hitung yang melibatkan dua bilangan negatif atau lebih.

Karakteristik M odel Mental Formal Siswa Pada Bilangan N egatif

Karakteristik model mental formal siswa pada bilangan negatif, pada karakteristik ini siswa sudah memahami besaran nilai yang dimiliki setiap bilangan, siswa pada level model mental formal juga memahami bahwa tanda minus bukan hanya sebagi operasi hitung melainkan juga bisa sebagai tanda pada suatu bilangan. Dengan konsep yang sudah dimiliki oleh siswa pada karakteristik model mental formal, siswa sudah mengetahui bahwasannya semakin ke kiri bilangan pada garis bilangan maka bilangan tersebut memiliki nilai yang semakin kecil, didukung oleh pernyataan Peled bahwa siswa dengan model mental formal mampu menafsirkan bilangan bulat yang diarahkan pada garis bilangan.[11]

KESIMPULAN

Berdasarkan paparan data yang diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa setiap karakteristik model mental yang dimiliki siswa memiliki perbedaan disetiap karakteristiknya dalam pemahaman bilangan bulat negatif.

Karakteristik M odel Mental Awal Siswa Pada Bilangan N egatif

Siswa masih memahami bahwa tanda minus hanya sebagai operasi hitung pengurangan bukan tanda dari suatu bilangan. Ketika siswa pada level model mental awal dihadapkan soal bilangan negatif, siswa tersebut mengabikan tanda minus dan memperlakukan bilangan negatif seperti bilangan positif.

Karakteristik Model Mental Sintesis Siswa Pada Bilangan N egatif

Siswa sudah memahami bahwa tanda minus bukan hanya sebagai operasi hitung, namun tanda minus juga sebagai tanda pada suatu bilangan, namun pada level model mental sintesis siswa belum mengetahui besaran nilai yang dimiliki oleh bilangan negatif

Karakteristik M odel Mental Formal Siswa Pada Bilangan N egatif

Siswa paham materi tentang bilangan bulat negatif, baik urutan bilangan pada garis bilangan atau menyelesaikan operasi hitung yang melibatkan bilangan bulat negatif.

LAMPIRAN PENDUKUNG

Indikator Sub Indikator
Awal : Nilai dan Urutan Bilangan Belum memahami dengan pasti nilai bilangan bulat, dan menghiraukan tanda – (minus) pada bilangan bulat. Sehingga saat dihadapkan dengan soal yang menginstruksikan untuk mengurutkan bilangan, siswa pada karakteristik model mental awal masih belum bisa menjawab dengan tepat.
Arah Pada Garis Bilangan Belum mengetahui bahwa bilangan bulat negatif berada pada sisi kiri angka 0.
Operasi Belum bisa membedakan antara tanda – (minus) sebagai pengurangan dan tanda – (minus) sebagai bilangan. Sehingga siswa pada karakteristik model mental awal melakukan banyak kesalahan ketika menyelesaikan soal yang melibatkan bilangan negatif.
Sintesis : Nilai dan Urutan Bilangan Belum bisa menjawab soal dengan benar yang menyangkut 2 bilangan bulat negatif. Siswa pada karakteristik model mental sintesis juga belum bisa mengurutkan bilangan bulat negatif dengan benar dan belum memahami besaran nilai yang dimiliki oleh bilangan bulat negatif.
Arah Pada Garis Bilangan Siswa pada karakteristik model mental sisntesis masih beranggapan bahwa bilangan bulat negatif semakin menjauh dari angka 0 atau semakin ke kiri memiliki niali yang semakin besar.
Operasi Melakukan kesalahan dalam menjawab beberapa pertanyaan yang melibatkan 2 bilangan yang berbeda dan juga yang mempertemukan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.
Formal : Nilai dan Urutan Bilangan Mampu menuliskan kembali bilangan yang hilang pada garis bilangan dan mengurutkan bilangan tersebut dengan benar.
Arah Pada Garis Bilangan Siswa pada karakteristik model mental formal memahami tempat bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif pada garis bilangan dengan benar.
Operasi Mampu membedakan tanda plus dan minus baik sebagai tanda pengurangan dan penjumlahan atau tanda plus dan minus sebagai tanda dari suatu bilangan bulat, siswa pada karakteristik model mental formal juga berhasil menjawab dengan benar penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif..
Table 33.Karakteristik Model Mental Siswa Pada Bilangan Bulat Negatif
Subjek Keterangan
I Siswa dengan karakteristik model mental awal dalam pemahaman bilangan bulat negatif
II Siswa dengan karakteristik model mental sintesis dalam pemahaman bilangan bulat negatif
III Siswa dengan karakteristik model mental formal dalam pemahaman bilangan bulat negatif
Table 34.Pengkodean Subjek

References

  1. Dyah Tri Wahyuningtyas, Penggunaan Media Mobil Mainan Untuk Meningkatkan Pemahaman Konsep Operasi Hitung Bilangan Bulat. Malang: Universitas Kanjuruhan Malang.
  2. D. . Norman., Mental models. 1983.
  3. J. M. Carroll and Judith Reitmen Olson, Mental Models In Human-Computer Interaction. Washington, D.C, 1987.
  4. I. Peled, S. Mukhopadhyay, and L. B. Resnick, “Proceedings of the 13th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,” Psychol. Math. Educ., vol. 3, pp. 106–110, 1989.
  5. S. Vosniadou and W. F. Brewer, “Mental models of the earth: A study of conceptual change in childhood,” Cogn. Psychol., vol. 24(4), pp. 535–585, 1992.
  6. Indah Sylvia, “Penggunaan Media Garis Bilangan Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat,” Univ. Negri Surabaya, vol. 2, 2014.
  7. Laura Bofferding, “Negative integer understanding : Characterizing first graders’ mental model,” Purdue Univ., vol. 45, pp. 194–245, 2014.
  8. Sugiyono, Metode Penelitian Pendidikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D. Bandung, 2017.
  9. I. Whitacre, J. P. Bishop, L. L. C. Lamb, R. A. Philipp, and M. L. Lewis, “Happy and sad thoughts: An exploration of children’s integer reasoning,” J. Math. Behav., vol. 31(3), pp. 356–365, 2012.
  10. B. B. Schwarz, A. S. Kohn, and L. B. Resnick, “Positives about negatives: A case study of an intermediate model for signed numbers,” J. Learn. Sci., vol. 3(1), 1993.
  11. I. Peled, S. Mukhopadhyay, and L. B. Resnick, “Formal and informal sources of mental models for negative numbers,” Proc. 13th Annu. Conf. Int. Gr. Psychol. Math. Educ., vol. Vol. 3 pp, pp. 106–110, 1989.